Eleverna i båda klasserna hade överlag väldigt bra resultat, de flesta klarade så gott som alla uppgifter. De svårigheter som vissa elever visade var:
- betydelsen av täljare och nämnare. Det var flera som skrev två tredjedelar som 3/2.
- förståelsen för flera andelar (skillnaden mellan 2/5 och 5/2).
- markera en andel av figurer som de själva fick dela in i delar. De använde strategier från cirkeln (mercedes-symbolen) på rektangeln och lodräta streck från rektangeln på cirkeln.
- tolkat fem sjättedelar som 5/7. Först trodde jag att de bara skrivit fel, men i och med att flera elever gjort samma fel tänker jag att de kan ha kopplat "sj" i "sjättedel" till "sju".
Denna analys av elevernas svar låg till grund för hur jag planerade undervisningen. Jag gick därefter tillbaka till kurslitteraturen för att se vilka strategier de presenterar för att reda ut skillnaden mellan täljare och nämnare (Löwing 2011:254f), samt undervisning inom bråk av helheter (Löwing 2011:250). Där beskrevs en strategi för elevernas taluppfattning där först nämnarens innebörd synliggörs genom att eleverna får dela upp helheter i fjärde-, tredjedelar och halvor. Täljarens innebörd illustrerades med att addera flera fjärdedelar (1/4+1/4+1/4=3/4). De olika funktionerna formulerades också i skrift, vilket jag också plockade med mig till lektionen. Jag gick tillbaka till en föreläsning och artikel i Matematikunderivsning i praktiken (Sundin 2014) kring hur hur man kan använda elevernas felsvar för att på så sätt visa hur man kan dela in helheter, samt belysa vikten av att alla delar är lika stora. Jag tänkte också att variationsteorin (Runesson 2014) kunde användas genom att lyfta olika sätt att skriva fjärdedelar på. Detta kunde i sin tur hjälpa eleverna att inse värdet av täljare och nämnare. Variationsteorin kunde också användas för att kontrastera vad som händer om man kastar om täljare och nämnare "Vad är skillnaden mellan 3/4 och 4/3?" för att få ytterligare djupare förståelse för talens värde.
Jag förberedde sedan ett lektionsupplägg som utgick från en progression. Tanken var att de först skulle definiera nämnare och täljare, använda ett konkret material och sedan uttrycka samma sak i skrift. De fick definiera vad fjärdedelar, tredjedelar och halvor är genom att dela upp två A4. Sedan fick de arbeta med vad flera andelar av vad värdet av ett bråk är genom att placera ut sju fjärdedelar i två helhet och därefter uttrycka det i skrift. De fick sedan fundera kring vad skillnaden mellan 3/4 och 4/3 är, både utan och med kontext. Som sista uppgift fick eleverna försöka svara hur många hela kakor 7/4 + 2/4 blir, för att inför decimaltalsräkningen förbereda eleverna på att räkna med flera helheter och hur man uttrycker andel som "blir över".
Jag hade förberett ett antal 1/4- och 1/3-bitar av ett A4 som vi sedan använde för att illustrera hur man tänker kring flera fjärdedelar genom att svara på uppgiften "Jonas, Sandra, Mohammed och Petra bakar 2 citronkakor. De delar upp kakorna i fjärdedelar och delar bitarna lika mellan varandra. Hur mycket chokladkaka får varje person?". Eleverna hade full koll på att det behövde bli rättvist.
Jag frågade sedan "En liten grupp på 7 personer ville ha en fjärdedels kakbit var. Hur många kakor behövdes för att de ska få var sin bit?". En elev svarade att det krävs fyra hela kakor och placerade två fjärdedelsbitar i varje. När jag frågade vad man göra med det som blir över, svarade hon att man slänger det. Omformulerade mig till att man i matematiken letar efter det minsta möjliga antal kakor, och hon hittade att det behövdes 2 hela kakor för att det ska räcka till 7/4. De andra eleverna i gruppen klarade också att förstå att det krävs 2 hela kakor, men de hade problem att uttrycka det som bråk. De trodde man bara kunde svara 2. Jag gick då igenom att 7/4 är lika med 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4, att täljaren adderas men nämnaren endast är en sorts enhet. Det får oss svaret att det behövs 1 hel och 3/4 kakor, samt att det inte är samma som 2.
Därefter gick vi vidare till att ta fram ett stort A2-ark där de fick i uppdrag att skriva 3/4 på flera olika sätt, det vill säga "3/4" med snett och rakt streck, "tre fjärdedelar" och 4/3. Det blev faktiskt lyckat genom att en elev i ena klassen berättade att hen vinklade upp det sneastrecket och på så sätt fick täljare och nämnare på rätt plats. Eftersom de skrivit tre fjärdedelar både som 3/4 och 4/3 ledde jag in diskussionen på vad nämnare och täljare betyder. Nämnaren formulerades till "antal delar kakan är uppdelad i" och täljaren till "hur många bitar vi vill ha".
Eleverna fick sedan fokusera på talens värden genom att använda mina förberedda tredjedels- och fjärdedelsbitar och placera ut dem på ett A4. Tre fjärdedelar blev mindre än ett A4 och fyra tredjedelar blev mer. Till sist fick de svara på frågan hur många kakor som 7/4 + 2/4 blir. När jag frågade hur de skulle göra med den andel som inte fick plats, svarade de först att man bara kunde trycka ihop bitarna lite så de fick plats på de två kakorna. När jag förklarade att man inte kunde göra så, eftersom någon bit då blir mindre så sa en elev att de behövde fjärde kaka. Jag gick då igenom att andelen av kakan blev en 1/4 och att talet uttrycks 2 1/4.
Vilket innehåll var lätt/svårt att få eleverna att förstå?
Det som var svårast för eleverna var betydelsen av täljaren och nämnaren. Vi synliggjorde olika strategier under lektionen, dels att uttala "tre fjärdedelar" och skriva i den ordningen, dels att definiera nämnaren och täljarens betydelse i ord och dels att vrida det snea strecket. Dessa strategier är dock på procedurell nivå, och för att nå en conceptuell nivå försökte jag få eleverna att förstå bråkens värde, exempelvis se skillnaden mellan 3/4 och 4/3 genom att fråga hur många fjärde- och tredjedelsbitar som behövs till varje tal. Därefter fick de placera ut bitarna i en hel kaka och på så sätt se att det motsvarade olika mycket kaka.
När jag lektionen efteråt gick runt till de elever jag hade pratat med kunde alla elever i grupperna, utom två, se att de kastat om täljare och nämnare i sin diagnos och sedan rätt till felet. De använde då strategin att förklara att den undre siffran stod för hur många delar som kakan blivit delad i och att den övre stod för hur många bitar vi vill ha. De två elever som inte klarade att se sina fel var samma elever som jag inte lyckades fånga koncentration under lektionen, vilket då också visade sig i resultatet. Ett annat lektionsupplägg hade kanske fångat deras fokus också, men mer om det längre ned i detta inlägg.
Vad kände du dig säker/osäker på?
Det var svårt att synliggöra de olika strategierna för täljare och nämnare, samt vad de innebär. När en elev vet svaret var det svårt att få till en diskussion kring vad som händer om man kastar om dessa. Kände mig också osäker på att få till tydliga övergångar mellan de olika momenten. Jag kände mig däremot mer säker på att definiera täljare och nämnare med ord och försöka visa vad de har för värde med mitt förberedda material.
Om du skulle göra om det, vad skulle du ändra?
Jag skulle förbereda ett ark som varje elev skulle få i början på lektionen. Även om jag hade förberett uppgifter med och utan kontext som de skulle besvara i grupp, så hade lektionen blivit mindre rörig om de tvingats skriva svaret själva. Det hade blivit en mer fokuserad elevaktivitet, och en struktur som vi hade kunnat diskutera och samtala kring. De elever som jag inte lyckades fånga hade kanske lyckats fokusera tack vare en sådan här tydligare struktur. Det hade också kunnat vara bra om eleverna fick var sitt material att jobba med. När de jobba i grupp tog flera gånger den starkaste elevens rätta svar över utrymmet och smart feltänk kom inte till ytan.
Källförteckning
Löwing, M. (2011). Grundläggande aritmetik: matematikdidaktik för lärare. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur.
Runesson, U. (2014). Variation för lärande. I Matematikundervisning i praktiken. (2014). (1. uppl.) Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.
Sundin, T. (2014). Att använda felsvar i matematikundervisningen. I Matematikundervisning i praktiken. (2014). (1. uppl.) Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.
Sundin, T. (2014). Att använda felsvar i matematikundervisningen. I Matematikundervisning i praktiken. (2014). (1. uppl.) Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.
Inga kommentarer:
Skicka en kommentar